Расчет на прочность при ударе в обычной работе инженера-конструктора встречается не очень часто. Поэтому возникновение такой задачи может поставить в тупик своей неожиданностью. Расчеты при ударных, то есть динамических нагрузках очень сложны и часто производятся...
По эмпирическим – полученным из практических опытов — методикам и формулам. В этой статье мы рассмотрим расчет по приближенной теоретической формуле, которая, однако, позволяет быстро, просто, понятно и с достаточной для многих случаев жизни точностью учесть динамическую составляющую нагрузки!
Выполним расчет на прочность и определим прогиб балки при воздействии ударной нагрузки на примере консоли.
Общий подход к статическим расчетам на прочность при изгибе подробно изложен в статье « », где приведены уравнения общего вида, позволяющие произвести расчет на прочность балки с любыми опорами и при любых нагрузках.
Расчеты выполним в программе MS Excel. Вместо MS Excel можно воспользоваться программой OOo Calc из свободно распространяемого пакета Open Office.
С правилами форматирования ячеек листа Excel, которые применены в статьях этого блога, можно ознакомиться на странице « ».
Расчет консольной балки при ударе.
Расчет на прочность, который мы будем выполнять, является приблизительным.
Во-первых, предполагаем, что вся потенциальная энергия груза, падающего с некоторой высоты, переходит в кинетическую энергию, которая при соприкосновении груза с балкой полностью переходит в потенциальную энергию деформации. В реальности часть энергии превращается в тепло.
Во-вторых, мы не будем учитывать в расчете массу балки. То есть прогиб балки под действием собственного веса примем равным нулю! (Чем меньше вес балки относительно веса груза, тем точнее результаты, полученные по рассматриваемой методике расчета!)
В-третьих, прогиб балки при ударе будем определять как прогиб от статического воздействия груза с весом больше реального веса груза на величину, определяемую коэффициентом динамичности. То есть силу при ударе найдем как сумму веса и силы инерции груза при торможении.
В-четвертых, считаем, что груз не отскакивает при ударе, а перемещается на величину динамического прогиба вместе с балкой. То есть удар абсолютно неупругий!
В-пятых, учтем ограничение, что ошибка расчета не превысит 8…12% только в случае, если рассчитанный коэффициент динамичности будет не более 12!
На рисунке, расположенном ниже, изображена расчетная схема.
Составим в Excel программу и в качестве примера выполним расчет на прочность и определим прогиб балки круглого сечения.
Исходные данные:
1. Вес груза G в Н записываем
в ячейку D3: 50
2. Высоту падения груза h в мм заносим
в ячейку D4: 400
3. Длину консольной балки L в мм вписываем
в ячейку D5: 2500
4. Осевой момент инерции поперечного сечения балки I x в мм 4 вычисляем для диаметра d =36 мм
в ячейке D6: =ПИ()*36^4/64 =82448
I x = π * d 4 /64
5. Осевой момент сопротивления поперечного сечения балки W x в мм 3 вычисляем для диаметра d =36 мм
в ячейке D7: =ПИ()*36^3/32 =4580
W x = π * d 3 /32
6. Допустимые напряжения материала балки (Ст3 сп5) при изгибе [ σ и ] в Н/мм 2 записываем
в ячейку D8: 235
7. Модуль упругости материала балки E в Н/мм 2 вписываем
в ячейку D9: 215000
Результаты расчетов:
8. Максимальный изгибающий момент при статическом воздействии груза Mст x в Н*мм определяем
в ячейке D11: =D3*D5 =125000
Mст x = G * L
9. Максимальное напряжение при статическом воздействии груза σ ст в Н/мм 2 вычисляем
в ячейке D12: =D11/D7 =27
σ ст = Mст x / W x
10. Прогиб края консоли от статического воздействия груза Vст y в Н/мм 2 рассчитываем
в ячейке D13: =D3*D5^3/3/D9/D6 =14,7
Vст y = G * L 3 /(3* E * I x )
11. Коэффициент динамичности K д вычисляем
в ячейке D14: =1+(1+2*D4/D13)^0,5 =8,45
K д = 1+(1+2* h /Vст y ) 0,5
12. Максимальное напряжение при динамическом воздействии груза σ д в Н/мм 2 вычисляем
в ячейке D15: =D12*D14 =231
σ д = σ ст * K д
13. Прогиб балки в точке удара при динамическом воздействии груза Vд y в мм определяем
в ячейке D16: =D13*D14 =124,1
Vд y = Vст y * K д
14. Коэффициент запаса прочности k вычисляем
в ячейке D17: =D8/D15 =1,02
k = [ σ и ] /σ д
Заключение.
Созданный расчет в Excel можно использовать для расчета на прочность при ударе консольных балок любого сечения. Для этого в исходных данных необходимо предварительно рассчитать осевые моменты инерции и сопротивления соответствующего сечения.
Для балок с другими вариантами опор следует найти прогиб и напряжение от статического воздействия груза по соответствующим схеме опор формулам, затем по приведенной в п.11 формуле рассчитать коэффициент динамичности и определить прогиб балки в точке удара и максимальное напряжение в опасном сечении при ударе.
Опасное сечение – это сечение, в котором напряжение максимально и, соответственно, в котором начнется изгиб при достижении напряжением предельного значения. Определяется это сечение индивидуально для конкретных схем из эпюр и расчетов.
Коэффициент динамичности зависит – как следует из формулы – от высоты падения груза и величины прогиба при статическом приложении нагрузки. Чем больше высота падения, тем больше коэффициент динамичности. Это понятно, но почему этот коэффициент возрастает при уменьшении статического прогиба? Дело в том, что, чем меньше статический прогиб, тем жестче балка и тем быстрее остановится падающий груз после касания. Чем меньше время и путь торможения груза, тем больше ускорение (точнее торможение – ускорение с отрицательным знаком), а значит больше и сила инерции, которая по второму закону Ньютона, как известно, равна произведению массы тела на ускорение! Спрыгнуть на батут с высоты четырех метров можно легко, а вот на бетонный пол – чревато последствиями…
Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.
Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!
Оставляйте ваши комментарии, уважаемые читатели! Ваш опыт и мнение будут интересны и полезны коллегам!!!
Прошу уважающих труд автора скачивать файл после подписки на анонсы статей!
Под ударом понимается взаимодействие движущихся навстречу друг другу тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.
Ударная нагрузка является динамической. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай и др.
За очень малый промежуток времени скорость ударяющегося тела становится равной нулю. В этот момент напряжения и деформации в системе достигают наибольших значений. Целью расчета на удар и является определение наибольших деформаций и напряжений.
Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные деформации, такие как сжатие, растяжение, изгиб, кручение, изгиб с кручением и др. Поэтому различают продольный, поперечный и скручивающий удары (рис. 13.5).
Рис. 13.5. Схемы ударных нагрузок
На рис. 13.5, а и 13.5, б показаны продольные удары – сжимающий и растягивающий, на рис 13.5, в показан поперечный изгибающий удар.
Скручивающий удар имеет место при падении груза G с высоты h или при резком снижении угловой скорости вала с маховиком, например, при внезапной его остановке (рис. 13.5, г, д).
Точное решение задачи о напряжениях и деформациях при ударе затруднительно, потому что неизвестен закон изменения скорости при соударении тел и, следовательно, действующих при ударе нагрузок, неизвестны силы сопротивления при ударе, чрезвычайно сложен закон распространения скорости деформации в системе, воспринимающей удар.
В практике применяют упрощенные методы расчета, основанные на следующих основных допущениях:
1) деформации стержня от ударяющего груза распространяются по всей длине стержня, они подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим от статического приложения того же груза. Поэтому связь между динамическими силами и перемещениями остается такой же, как и при статической нагрузке;
2) опорные устройства, как правило, полагают абсолютно жесткими;
3) ударяющее тело является абсолютно жестким и при ударе не отскакивает от системы.
Изучение напряжений и деформаций при ударе основано на использовании закона сохранения энергии. При этом предполагается, что кинетическая энергия падающего груза А численно равна потенциальной энергии деформации упругой системы U :
Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ею можно пренебречь. Продольный ударгруза G падает с высоты h и ударяется о стержень, вызывая его сжатие на величину , которая больше деформации стержня ∆ ст при статическом действии груза G (рис. 13.6).
Кинетическая энергия падающего груза равна:
Потенциальная энергия численно равна площади треугольника диаграммы F дин – ∆ дин (рис. 13.7).
Рис.13.6. Схема удара сжатием
Рис. 13.7. Схема для определения потенциальной
энергии деформации при ударе
С учетом зависимости А = U имеем:
Выразим нагрузки через деформации:
Получим квадратное уравнение для определения
В формуле перед корнем следует взять знак «плюс», так как , тогда получим:
Динамический коэффициент будет равен:
Зная коэффициент, можно определить и напряжения:
Динамический коэффициент зависит от величины:
Следовательно, напряжения при ударе зависят не только от площади поперечного сечения стержня A (как при статическом приложении нагрузки), но и от длины стержня и жесткости материала Е . Чем больше длина l , тем напряжения при ударе будут меньшими. С увеличением модуля упругости напряжения увеличиваются.
С целью уменьшения динамических напряжений в технике используются различные амортизаторы, увеличивающие податливость стержня (резиновые прокладки, пружины) (рис. 13.8).
Рис. 13.8. Схема удара сжатием
с амортизатором – пружиной
В этом случае
Рассмотрим частные случаи.
1. При мгновенном приложении нагрузки, когда H = 0:
При этом напряжение и перемещение в два раза больше, чем при статическом приложении нагрузки.
2. Если высота падения груза Н велика, т. е.
то единицей в подкоренном выражении для определения динамического коэффициента можно пренебречь, тогда:
3. При очень больших величинах
можно пренебречьединицей и перед корнем. Тогда
Если известна скорость падения груза, а не высота падения, то динамический коэффициент может быть выражен через скорость. При свободном падении
·
Определение динамического коэффициента при продольном ударе стержней с переменным поперечным сечением.
Сравним прочность двух стержней, подвергающихся продольному удару. Один стержень имеет постоянную площадь сечения А , а другой на участке длиной l имеет площадь сечения A , а в пределах остальной длины стержня – nА , где п > 1 (рис. 13.9).
При статическом воздействии груза F оба бруса равнопрочны, так как наибольшие напряжения (при расчете без учета концентрации напряжений) в каждом из них
Рис. 13.9. Схема продольного удара
При ударном действии нагрузки динамический коэффициент для первого бруса равен:
Для второго бруса
Если длина l 1 очень мала, что имеет место, например, при наличии поперечных выточек, то приближенно можно принять:
Динамический коэффициент для второго стержня:
т. е. в раз больше, чем для первого стержня. Таким образом, второй брус при ударном действии нагрузки менее прочен, чем первый. Поэтому оказывается более выгодным уменьшать площадь сечения по всей длине стержня.
В качестве примера можно привести болт, передающий от одной части конструкции на другую растягивающий удар. Участок болта с нарезкой, имеющий меньший диаметр, будет работать как выточка. Обрыв болта весьма вероятен. Для улучшения конструкции необходимо сделать его площадь всюду (или почти всюду) равной площади по внутреннему диаметру нарезки. Этого можно достигать путем обтачиванием болта или высверливанием в нем канала (рис. 13.10).
Рис. 13.10. Болт, работающий на растягивающий удар
Поперечный изгибающий удар.
Рассмотрим балку, свободно лежащую на двух шарнирных опорах. Балка изгибается под действием груза F , падающего с высоты H (рис. 13.11).
Рис. 13.11. Схема поперечного изгибающего удара
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле
где f ст – прогиб балки в месте падения груза при статическом ее нагружении.
Если а = b = l /2, то
Так же, как и при продольном ударе, внезапное приложение нагрузки на балку вызывает напряжение
Условие прочности при изгибающем ударе имеет такой же вид,
как и при продольном, т. е.
Учет массы тела, испытывающего удар.
Если груз падает на стержень, обладающий значительной массой, то решение значительно усложняется. Можно применить приближенное решение, оно сводится к замене реальной массы стержня приведенной массой, сосредоточенной в месте удара. Учет массы тела может оказать существенное влияние на динамические напряжения.
Если груз G падает на стержень, вес которого Q значителен, то динамический коэффициент определяется по формуле
где Н – высота падения;
β – коэффициент приведения массы стержня. Он зависит от способов закрепления концов стержня и вида удара (продольный, поперечный и т. д.). Для определения коэффициента β рассматривают кинетическую энергию стержня при его движении вследствие удара;
Q – вес ударяемого стержня;
G – вес падающего груза.
Рассмотрим частные случаи.
1. Продольный удар. Стержень постоянного сечения A защемлен одним концом. Объемный вес материала γ. Будем считать, что в момент удара верхний конец ударяемого стержня получает скорость V . Скорость нижележащих сечений стержня изменяется по линейному закону, достигая нулевого значения в нижнем сечении стержня (рис. 13.12).
Скорость движения произвольного сечения, расположенного на расстоянии х от нижнего сечения, будет равна:
Рис. 13.12. Схема продольного удара
Так как частицы стержня движутся, то стержень обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия элементарной частицы стержня длиной dx будет равна:
Кинетическая энергия всего стержня с учетом данной формулы равна:
где т прив – приведенная масса стержня.
2. Поперечный удар. В этом случае балка постоянного поперечного сечения защемлена одним концом и испытывает удар груза на свободном конце (рис. 13.13)
Рис. 13.13. Схема консольной балки при ударе
Для балки, закрепленной шарнирно, удар приходится посередине пролета (рис. 13.14).
Рис. 13.14. Схема поперечного удара для однопролетной балки
Учет массы ударяемого стержня может значительно уменьшить динамический коэффициент.
Работа машин во многих случаях связана с ударными нагрузками, которые могут быть обусловлены либо назначением этих машин (например, ковочное оборудование), либо же являются нежелательным следствием условий работы машин или различных конструктивных факторов (например, удары на колеса автомобиля при преодолении препятствий; удары на шатунные болты при выплавке шатунных подшипников).
Ударом называется явление, когда при соприкосновении ударяющего тела и конструкции их относительная скорость изменяется на конечную величину за промежуток времени, пренебрежимо малый по сравнению с периодом свободного колебания конструкции. Обычно это время составляют доли секунды.
Характерной чертой удара является то, что деформация системы, воспринимающей удар, получается не только за счет массы, наносящей удар, но, главным образом, за счет той кинетической энергии, которой эта масса обладает в начале воздействия на систему. При этом возникают большие ускорения и большие инерционные силы, которые в основном и определяют силу удара.
Определение напряжений и деформаций при ударе является одной из наиболее сложных задач сопротивления материалов. Поэтому в инженерной практике применяют так называемый приближенный метод расчета на удар, базирующийся на следующих основных допущениях:
- 1) в элементе конструкции, воспринимающей удар, возникают напряжения, не превосходящие предела пропорциональности, таким образом, закон Гука сохраняет свою силу при ударе;
- 2) удар является абсолютно неупругим, т. е. тела после удара не отталкиваются друг от друга;
- 3) тело, наносящее удар, является абсолютно жестким, а значит, не деформируется;
- 4) местные деформации в зоне удара и рассеяние энергии при ударе не учитываются.
Рассмотрим основные виды ударов.
Продольный удар. В качестве примера рассмотрим систему с одной степенью свободы, которая представляет собой пружину с коэффициентом жесткости с и падающий на нес груз масс- сой т с высоты Я (рис. 109, а).
Определение силы удара весьма затруднительно, так как неизвестно время соударения, поэтому в инженерной практике обычно пользуются энергетическим методом.
Рис. 109. Динамическая модель ударного нагружения: а ) падение груза с высоты Я; б) удар о пружину; в) возвратное движение груза
Груз т при касании пружины будет обладать кинетической энергией К , которую можно выразить через скорость v K груза в момент касания или высоту Я:
После того как груз коснется пружины, он начнет деформировать пружину. Когда вся кинетическая энергия груза перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз остановится (рис. 109, б), пружина получит свою наибольшую динамическую деформацию бд, а сила, сжимающая пружину, достигнет максимума. При составлении энергетического баланса здесь необходимо учитывать изменение потенциальной энергии груза на динамической деформации З л:
Упругая энергия сжатой пружины определяется по формуле
Составим энергетический баланс
или m-g-Hл-mg-S u =--,
который можно представить в следующем виде:
В результате рассмотрения статического равновесия упругой системы (рис. 109, в) следует, что отношение силы тяжести груза к жесткости пружины равно статической деформации пружины S CT:
Получили квадратное уравнение, из которого динамическая деформация определится как
Поскольку знак «минус» в этом выражении не соответствует физической стороне рассматриваемой задачи, следует сохранить знак «плюс». Запишем выражение (162) в виде
Величину, стоящую в скобках, называют динамическим коэффициентом:
Динамический коэффициент, выраженный через скорость груза в момент касания пружины, с учетом выражения (10.3) будет равен
Окончательно динамическая деформация пружины определится как
Из формулы (166) следует, что при продольном ударе, чем больше длина стержня и чем меньше его жесткость, тем меньше динамический коэффициент, а следовательно, меньше динамическая сила и динамическое напряжение. Этим можно объяснить, что тросы, соединяющие тягач с буксируемым объектом, не должны быть короткими. Короткий трос при случайном ударе (трогании буксируемого объекта с места или из-за случайных препятствий на дороге) не выдерживает динамической нагрузки и разрывается.
Динамический коэффициент показывает, во сколько раз деформация при ударе больше деформации при статическом приложении нагрузки. В том же отношении изменяются внутренние силы и напряжения:
Из анализа выражений (164) и (165) видно, что динамический коэффициент зависит от кинетической энергии падающего груза. В случае, если груз опускается на упругую систему мгновенно, без начальной скорости (Я = 0), динамическая деформация уже вдвое превышает статическую. Соответственно, в два раза большими оказываются и напряжения.
Динамический коэффициент, а следовательно, и динамические напряжения, также зависят от жестокости упругой системы. При большей жесткости статические деформации имеют меньшие значения, а динамические напряжения при этом увеличиваются. Поэтому снижение напряжений при ударе может быть достигнуто уменьшением жесткости системы.
NB: зависимости для определения динамических напряжений и деформаций, полученные на примере падения груза на пружину, применимы и для других упругих систем: при расчете на удар при растяжении - сжатии, кручении и изгибе.
В каждом случае придерживаются следующего порядка расчета: а) в месте падения груза к упругой системе прикладывают статическую нагрузку, равную весу падающего груза;
- б) определяют статическую деформацию упругой системы;
- в) определяют напряжения в материале, возникающие от приложения статической нагрузки;
- г) определяют коэффициент динамичности;
- д) определяют динамические напряжения и деформации,
- е) сравнивают напряжения при ударе с допускаемыми напряжениями:
Обычно коэффициент запаса п принимают равным и т = 2.
В полученных выражениях не учтена масса упругой системы, к которой прикладывается ударная нагрузка. Учет массы даег меньшие значения динамических напряжений, поэтому, рассчитывая конструкции без учета ее массы, мы получаем дополнительный запас прочности.
Поперечный удар. В результате падения груза массой т с высоты Я, балка будет испытывать изгибной или поперечный удар (рис. 110). При поперечном ударе можно пользоваться формулами (164), (165), (166), (167), если в них величину принять за прогиб при статическом нагружении.
Рис. 110.
Скручивающий удар. На рис. 111 приведен вал, на левом конце которого закреплен диск с моментом инерции J m . Вал вращается с угловой скоростью ш. При внезапном торможении правого конца вала вся кинетическая энергия диска перейдет в потенциальную энергию деформации вала: К = U, где
Рис. 111.
Так как наибольшие касательные напряжения в сечении Т
т =-, то с учетом выражения (170) найдем максимальное ди-
намическое напряжение:
где W p - момент сопротивления сечения кручению.
Для определения максимального угла закручивания вала при торможении воспользуемся формулой угла закрутки при кручении, которая с учетом (170) принимает вид
Пример 34. На стальную балку двутаврового поперечного сечения по середине пролета падает груз массой т - 100 кг (рис. 112). Длина балки / = 3м; высота падения h = 10 мм. Для двутавра № 24, а из таблицы сортамента определяем J x = 3800 см 4 ; W x - 317 см 3 ; J y = 260 см 4 ; W y = 41,6 см 3 . Необходимо сопоставить наибольшие статические и динамические напряжения в поперечном сечении балки и прогибы под грузом для случаев изгиба балки в плоскости наибольшей и наименьшей жесткости.
Рис. 112.
Рассмотрим сначала случай изгиба балки в плоскости наибольшей жесткости. Наибольшие нормальные напряжения в поперечном сечении балки при статическом ее нагружении составляют
Динамический коэффициент при поперечном ударе
где S„ - прогиб балки посередине пролета при статическом нагружении:
Определим динамический прогиб и наибольшие динамические напряжения, возникающие в балке при падении груза:
Во втором случае, при изгибе балки в плоскости наименьшей жесткости, аналогично получаем
Тогда динамический прогиб и наибольшие динамические напряжения в балке при ее изгибе в плоскости наименьшей жесткости
При статическом действии нагрузки напряжения во втором случае больше, чем в первом, в 7,63 раза, а при ее ударном действии - лишь в 2,36 раза. Это различие объясняется тем, что во втором случае жесткость балки значительно (в 14,6 раза) меньше, чем в первом, что приводит к существенному уменьшению динамического коэффициента.
Нагрузки, не удовлетворяющие условиям плавности нагружения, называются ударными.
Физические условия разрушения при ударной нагрузке сильно отличаются от статических. В условиях далеких от разрушения статическую и ударную нагрузки можно сравнивать по их деформирующему эффекту, считая, что равные деформации есть признак эквивалентности нагружения.
Из повседневного опыта известно, что при падении груза на балку прогиб будет больше, чем просто от веса груза. Почему это происходит?
Пусть
груз
падает на балку с высоты
(рис.
195). При соприкосновении с балкой груз
имеет скорость
За очень малый промежуток времени соударения скорость уменьшается до нуля. Приближенно вычислим среднюю величину ускорения
=0,010,001
сек; так как эта величина стоит в
знаменателе, ускорение будет велико.
При наличии ускорения всегда есть сила
инерции, которая в данном случае будет
тоже велика.Сила
инерции противоположна ускорению, то
есть направлена вниз. В момент удара к
весу груза добавляется сила инерции,
поэтому ударная сила в несколько раз
больше статической. Соответственно,
деформация от ударной нагрузки в
несколько раз больше. Сложность расчета
состоит в том, что вычислить ударную
силу как сумму
не удается, так как ускорение переменное
и закон его изменения не поддается
определению. Расчет проводится по
балансу энергий.
Расчет на удар сводится к статическому введением динамического коэффициента, который указывает, во сколько раз при ударе деформация и сила больше чем при статическом приложении равного груза.
Определение динамического коэффициента при ударе
(без учета массы ударяемой системы)
Принимаем упрощающие допущения:
Удар абсолютно неупругий, т.е. после соударения падающий груз и ударяемая система движутся вместе с одинаковой скоростью.
Масса ударяемой системы намного меньше веса падающего груза.
При ударе справедлив закон Гука.
Вычислим динамический коэффициент для случая продольного и поперечного (изгибающего) удара (рис. 196).
Обозначим:
- вес груза
-высота
падения
-скорость
в момент удара
-максимальное
перемещение центра удара.
На
диаграмме (
,
)
закону Гука соответствует прямая линия.
Из справедливости закона Гука следует
,
При
ударе кинетическая энергия падающего
груза переходит в потенциальную энергию
упругой деформации системы
.
Вычислим
и
.
По закону изменения кинетической
энергии можно записать
.
Падение происходит из состояния покоя, поэтому
.
Работа силы тяжести равна произведению силы на путь
Таким образом, получаем
При
вычислении потенциальной энергии
деформации упругой системы предполагается,
что при динамической нагрузке она
вычисляется, как и при статической, а
следовательно равна площади диаграммы
(
,
);
Приравниваем
энергии
Решение
уравнения со знаком минус не годится,
так как
всегда больше
.
Получили формулу для динамического коэффициента при ударе:
Продолжительность удара очень мала и сложно вычислить ускорения частиц ударяемой конструкции. Поэтому, воспользоваться принципом ДАламбера затруднительно и обычно здесь используют закон сохранения энергии.
Для удобства расчета на удар вводят условное понятие динамическая сила . Эта такая сила, которая, будучистатически приложенной в точке удара, вызовет такие же перемещения (деформации) ударяемого тела, как и при ударе.
Расчет на удар без учета массы ударяемого бруса
Рассмотрим
закрепленный упругий брус, на который
с высоты
падает груз весом
.
При этом брус может испытывать: а)
продольные деформации (колонны, сваи)
рис. 9.1а, б) изгибные деформации (балки)
рис. 9.1б.
Рис. 9.1
После удара, когда
груз
останавливается в нижнем положении,
деформации каждого сечения бруса
достигают наибольших значений. Их
обозначим:
деформации
в точке удара,
в любом сечении бруса с координатой
(на рис. 9.1б в эти деформации (прогибы)
показаны сплошной линией). Затем
происходят затухающие колебания бруса,
в конце которых устанавливаются
деформации
(в точке удара) и
в любом сечении, соответствующие
статическому действию груза
(на рис. 9.1б эти деформации показаны
пунктирной линией).
Расчет проведем при следующих допущениях:
динамический
коэффициент
(9.3)
Из третьего допущения и рис. 9.1б следует с учетом (9.3)
(9.4)
Согласно принятого
выше определения динамической силы
,
от ее статического приложения возникнут
деформации
и
,
а от статического нагружения силой
появятся
и
.
По закону Гука деформации пропорциональны
нагрузкам, поэтому
(6)
По закону Гука и напряжения пропорциональны нагрузкам
(9.5)
Здесь
динамические напряжения, т.е. возникают
в брусе при ударе;
статические напряжения, возникают при
статическом нагружении силой
.
Из (9.4) и (9.5) следует
Итак, деформации
и напряжения в любом сечении бруса при
ударе можно определить по (9.6), если
вычислить
динамический коэффициент. А деформации
и напряжения
при любом виде статической нагрузки
(осевой, изгибной, кручении и т.д.) мы
умеем определять из вышеприведенных
разделов.
Для решения задачи
используем закон сохранения энергии.
Груз
при падении проходит путь
и совершает работу
.
При статическом
нагружении силой
получим ту же деформацию, что и при
ударе, потенциальная энергия деформации
бруса при этом, как известно, определяется
так
.
Сила
прикладывается в т.К
,
куда падает груз
.
По закону сохранения энергии
,
т.е.
(7)
Из (6)
,
подставим в (7) получим
(8)
Сокращаем на
и учитывая из (9.4), что
найдем
или (9)
Относительно
неизвестной
получили стандартное квадратное
уравнение типа
Здесь
.
Решение квадратного уравнения известно
из справочников:
.
В нашем случае получим
(10)
При ударе всегда
,
поэтому выбираем знак (+) и формулу (10)
преобразуем так
или окончательно (11)
Согласно (9.4)
,
тогда из (11) получим
(9.8)
Величина
ст
статическая деформация бруса в точке
удара от статического приложения силы
в точке «K
»
падения груза весом
.
Определяется известными методами:
Рис. 9.1а: По закону Гука при осевой нагрузке
Рис. 9.1б: 
прогиб балки в т.
K
от силы
,
приложенной в т.K
.
Определяется известным методом Клебша
из раздела «Плоский изгиб балок».
Скорость груза,
падающего с высоты
,
как известно, определяется так
,
откуда
.
Подставим это в (9.8) получим
(9.9)
Преобразуем
так:
(12)
Здесь:
энергия падающего груза в момент начала
удара;
потенциальная
энергия деформации бруса от статического
нагружения его силой
в т.K
.
С учетом (12) из (9.8) найдем
(9.10)
Из (9.8) следует, что
чем больше
,
т.е. чем больше деформируется брус от
статической нагрузки
,
тем меньше
и по (9.6) меньше напряжения при ударе.
Так появилась идея ставить в конструкциях,
испытывающих ударные нагрузки, различные
амортизаторы, рессоры, пружины и
поясняется поговорка «знал бы, где
упаду, подстелил бы солому».
Пример. Порядок расчета балки на удар.
|
|
На балку с высоты
В т. K балки статически при- |
в т.K
падает груз
.
Найти
максимальное напряжение в балке от
удара, максимальные прогибы в пролете
и консоли.кладываем силу
,
равную весу груза (рис.б). Определяем от
нее опорные реакции и строим эпюру
изгибающих
моментов. Из Эп.
находим
и, зная размеры и форму поперечного
сечения балки, вычисляем
максимальные напряжения от статического
нагружения. Для вычислений по (9.6) надо
знать
.
Для балки б) со
статической силой
для двух участков запишем дифференциальные
уравнения изгиба
по методу Клебша, интегрируем их и из
условий закрепления балки находим
константы интегрирования. Строим график
прогибов балки, приблизительный вид
которого показан на рис.б. Находим
прогиб балки в сечении «K
»,
это и есть
.
По (9.8) вычисляем
и далее
В консоли максимальный
прогиб при ударе
.
В пролете находим
максимальный прогиб от статического
нагружения и далее максимальный прогиб
при ударе
.
Существует термин
«падение с высоты
».
Из (9.8) в этом случае получим
.
Чтобы этого не было, груз надо опускать
плавно не только до соприкосновения с
конструкцией, но и дальше, при перемещении
груза вместе с деформируемой конструкцией
до полной их остановки.
Учет массы ударяемого тела (бруса )
Учет массы ударяемого тела достаточно сложен, поэтому приведем окончательные формулы без вывода их.
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формулам, аналогичным (9.8)-(9.10)
Здесь:
;
вес ударяемого тела, для бруса
редукционный
коэффициент, определяется так
,
для бруса
(9.12)
Вычислив
,
определяем коэффициент
и далее
.
Пример 1.
Вычислить
для колонны, показанной на рис. 9.1а. По
закону Гука для сечения
от статического нагружения силой
:
,
,
где
площадь поперечного сечения колонны,
модуль упругости материала.
Пример 2.
Вычислить
для балки, показанной на рис. 9.1б, когда
груз
падает на середину балки.
Опорные реакции
,
дифференциальные уравнения изгиба
балки от статического нагружения силой
:
т.е. ввиду симметрии ограничимся одним участком.
Граничные условия:
1)
;
2)
(ввиду симметрии), откуда найдем
.
Тогда,
т.к.
,
то
,
а
,
подставим
получим
:
; Найдем
.
Все полученные выше формулы приближенные. Чем большей жесткостью обладает ударяемый брус, тем менее точными будут результаты расчетов. Более точные результаты получаются при рассмотрении волновой теории удара.
